Ông là con của Frederik Teodor Cleve và Ulrika Sophia Glansberg. Gia tộc Cleve gốc Đức. Cụ nội của Per là F.A.Cleve sang Thụy Điển trong thập niên 1760.

Ông tốt nghiệp bằng trung học phổ thông ở Stockholm năm 1858, sau đó ghi tên theo học ở Đại học Uppsala từ tháng 5 cùng năm, và đậu bằng tiến sĩ năm 1863.

Sau thời gian làm việc ở đại học Uppsala và các chuyến du hành châu Âu cùng Bắc Mỹ, ông được bổ nhiệm làm giáo sư tổng quát và hóa học nông nghiệp ở đại học Uppsala năm 1874.

Cleve đã khám phá ra các nguyên tố holmi và thulium năm 1879. Năm 1874, ông kết luận rằng didymium về thực chất là 2 nguyên tố, ngày nay gọi là neodymi và praseodymi.

Khoáng chất cleveite được nhà địa chất học Adolf Erik Nordenskiöld đặt theo tên ông năm 1878 để vinh danh ông.

Cleve là cha của nhà thực vật học kiêm hóa học Astrid Cleve và là ông ngoại của Ulf von Euler (con của Astrid Cleve), nhà sinh lý học kiêm dược lý học đã đoạt giải Nobel Sinh lý và Y khoa năm 1970.

Ông kết hôn với nhà văn Caralma Öhbom năm 1874. Họ có ba người con: Astrid Cleve, Agnes Cleve-Jon-And, và Célie Brunius.